Lema de Yoneda
Lema de Yoneda Sea \(G : {\cal C} \longrightarrow \mathtt{Set}\) un funtor covariante. Fijado \(A \in \mathrm{obj}({\cal C})\), tenemos una biyección entre las transformaciones naturales del funtor \(\mathrm{Hom}(A,-)\) a \(G\) y los elementos del conjunto \(G(A)\):
\[ y : \mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}_{\cal C}(A,-),G) \longrightarrow G(A) \]
Que viene dada por \(y(\tau) = \tau_A(1_A)\), la imagen de la identidad por la transformación natural.
Demostración. Dado cualquier \(p\) crearemos la única transformación natural que cumple \(\eta_A(1_A) = p\). Por definición de transformación natural, sabemos que debe cumplir el siguiente diagrama conmutativo:
\[\require{AMScd}\begin{CD} \mathrm{Hom}(A,A) @>{f \circ \_}>> \mathrm{Hom}(A,B)\\ @VV{\eta_{A}}V @VV{\eta_B}V\\ GA @>{Gf}>> GB \end{CD}\]
Lo que deja determinado a cualquier \(\eta_B(f)\), y por tanto a toda la función:
\[\eta_B(f) = \eta_B(f\circ id) = Gf(\eta_A(id_A)) = Gf(p) \]
Nos falta comprobar que la función así construida es de hecho una transformación natural. Es decir, que cumple el siguiente diagrama conmutativo:
\[\require{AMScd}\begin{CD} \mathrm{Hom}(A,B) @>{g \circ \_}>> \mathrm{Hom}(A,C)\\ @VV{\eta_B}V @VV{\eta_C}V\\ GB @>{Gg}>> GC \end{CD}\]
Y de hecho, dado cualquier elemento \(f \in \mathrm{Hom}(A,B)\) tenemos:
\[Gg\circ \eta(f) = Gg \circ Gf(p) = G(g\circ f)(p) = \eta(g\circ f)\]
Lema de Yoneda (caso contravariante)
Si aplicamos Yoneda sobre \(\mathcal{C}^{op}\), dado \(G : {\cal C} \longrightarrow \mathtt{Set}\) contravariante y fijado \(A \in obj({\cal C})\); existe una biyección entre las transformaciones naturales del funtor \(Hom(-,A)\) a \(G\) y los elementos del conjunto \(G(A)\):
\[ y : \mathrm{Nat}(\mathrm{Hom}_{\cal C}(-,A),G) \longrightarrow G(A) \]
Que viene de nuevo dada por \(y(\tau) = \tau_A(1_A)\).
Referencias y enlaces
[1] J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra.
[2] Bartosz Milewski’s Programming Cafe. The Yoneda Lemma
[3] The Catsters. Representables and Yoneda 3